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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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4. Sabiendo que
a) la función continua ff satisface ∫0xf(t)dt=x2(1+x)\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x), calcule f(2)f(2).

Respuesta

Sabemos que la función ff cumple que:

∫0xf(t)dt=x2(1+x)\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)

que si querés también lo podemos reescribir así (haciendo distributiva)

∫0xf(t)dt=x2+x3\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2} + x^3

Así como está esto no podemos calcular f(2)f(2), pero vamos a recurrir a algo que vamos a usar muuuucho para salir de estas situaciones. Fijate que si derivamos ambos lados de la igualdad, al derivar el lado de la izquierda (usando el TFC) vamos a obtener f(x)f(x). Una vez que la tengamos, ahí evaluamos en x=2x=2 y listo 😉 

Con este plan en mente, arrancamos. Derivamos ambos lados de la igualdad, para la izquierda usamos el TFC:

(∫0xf(t)dt)′=(x2+x3)′(\int_{0}^{x} f(t) d t)'=(x^{2} + x^3)'

f(x)=2x+ 3x2f(x) = 2x + 3x^{2}

Ahora simplemente nos queda evaluar en x=2x=2 y obtenemos

f(2)=16f(2) = 16
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