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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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4. Sabiendo que
a) la función continua $f$ satisface $\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$, calcule $f(2)$.

Respuesta

Sabemos que la función $f$ cumple que:

$\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$

que si querés también lo podemos reescribir así (haciendo distributiva)

$\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2} + x^3$

Así como está esto no podemos calcular $f(2)$, pero vamos a recurrir a algo que vamos a usar muuuucho para salir de estas situaciones. Fijate que si derivamos ambos lados de la igualdad, al derivar el lado de la izquierda (usando el TFC) vamos a obtener $f(x)$. Una vez que la tengamos, ahí evaluamos en $x=2$ y listo 😉 

Con este plan en mente, arrancamos. Derivamos ambos lados de la igualdad, para la izquierda usamos el TFC:

$(\int_{0}^{x} f(t) d t)'=(x^{2} + x^3)'$

$f(x) = 2x + 3x^{2} $

Ahora simplemente nos queda evaluar en $x=2$ y obtenemos

$f(2) = 16$
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Avatar Caro 7 de junio 00:33
Holi Flor, acá en este ejercicio no me quedó muy en claro cuál sería la relación con el TFC :(
Avatar Flor Profesor 7 de junio 11:46
@Caro Fijate que cuando derivamos el término de la izquierda, o sea, este -> $\int_{0}^{x} f(t) d t$

Usando el TFC lo que tenemos que hacer es evaluar en $x$ (o sea, donde dice $t$ pongo $x$) y después multiplico por la derivada de $x$, que es $1$, por eso en el siguiente paso ya nos queda:

$f(x)$ 

Se ve mejor?? 
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