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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Sabiendo que
a) la función continua $f$ satisface $\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$, calcule $f(2)$.
a) la función continua $f$ satisface $\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$, calcule $f(2)$.
Respuesta
Sabemos que la función $f$ cumple que:
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$\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$
que si querés también lo podemos reescribir así (haciendo distributiva)
$\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2} + x^3$
Así como está esto no podemos calcular $f(2)$, pero vamos a recurrir a algo que vamos a usar muuuucho para salir de estas situaciones. Fijate que si derivamos ambos lados de la igualdad, al derivar el lado de la izquierda (usando el TFC) vamos a obtener $f(x)$. Una vez que la tengamos, ahí evaluamos en $x=2$ y listo 😉
Con este plan en mente, arrancamos. Derivamos ambos lados de la igualdad, para la izquierda usamos el TFC:
$(\int_{0}^{x} f(t) d t)'=(x^{2} + x^3)'$
$f(x) = 2x + 3x^{2} $
Ahora simplemente nos queda evaluar en $x=2$ y obtenemos
$f(2) = 16$